模拟电路网络课件 第四十一节:有源滤波电路
8.5 有源滤波电路
一、有源滤波电路的定义
图1 滤波电路的一般结构
在实际的电子系统中，输入信号往往包含一些不需要的信号成份。必须设法将它衰减到足够小的程度，或者把有用信号挑选出来，为此，可采用滤波器。
滤波器是一种能使有用频率信号通过而同时抑制（或大大衰减）无用频率信号的电子装置。
以往模拟滤波器主要采用无源R、L和C组成。60年代以来，集成运放得到了迅速的发展，由它和R、C组成的有源滤波电路，具有不用电感、体积小、重量轻等优点。此外，由于集成运放的开环电压增益和输入阻抗均很高，输出阻抗又很低，构成有源滤波器后还具有一定的电压放大和缓冲作用。但是，集成运放的带宽有限，所以有源滤波器的最高工作频率受运放的限制，这是它的不足之处。
设滤波器是一个线性时不变网络，其输入电压为v1(t)，输出电压为vo(t)，则在复频域内有
式中A(s)是滤波电路的电压传递函数，一般为复数。对于实际频率来说s=jw，则有
这里
为传递函数的模，j (w)为其相位角。
此外，在滤波器中所关心的另一量是时延t(w)，它定义为
通常用幅频响应来表征一个滤波器的特性，欲使信号通过滤波器的失真很小，则相位和时延响应亦需考虑。当相位响应j(w)作线性变化，即时延响应为常数时，输出信号才可能避免相位失真。
二、有源滤波电路的分类
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图 1 |
通常把能够通过的信号频率范围定义为通带，而把受阻或衰减的信号频率范围称为阻带，通带和阻带的界限频率叫做截止频率。
理想滤波电路在通带内应具有零衰减的幅频响应和线性的相位响应，而在阻带内应具有无限大的幅度衰减 （
）。按照通带和阻带的相互位置不同，滤波电路通常可分为以下几类：
低通滤波电路的幅频响应曲线中，A0表示低频增益，
为增益的幅值。由图可知，它的功能是使从零到某一截止角频率的wH的低频信号通过，而对于大于wH的所有频率则完全衰减，其带宽BW=wH。
高通滤波电路的幅频响应曲线，在0<w<wL范围内的频率为阻带，高于wL的频率为通带。理论上，它的带宽BW=¥，但实际上，由于受有源器件带宽的限制，高通滤波电路的带宽也是有限的。
带通滤波电路的幅频响应曲线中，wL为低边截止角频率，wH为高边截止角频率，wO为中心角频率。它有两个阻带：0<w<wL和w>wH，因此带宽BW=wH–wL。
带阻滤波电路的幅频响应曲线中，它有两个通带：0<w<wH及w>wL，和一个阻带：wH<w<wL。因此它的功能是衰减wL到wH间的信号。同高通滤波电路相似，由于受有源器件带宽的限制，通带w>wL也是有限的。
带阻滤波电路抑制频带中点所在角频率wo也叫中心角频率。
全通滤波电路没有阻带，它的通带是从零到无穷大，但相移的大小随频率改变。
各种滤波电路的实际频响特性与理想情况有差别，设计者的任务是，力求向理想特性逼近。
三、一阶有源滤波电路
如果在一阶RC低通电路的输出端，再加上一个电压跟随器，使之与负载很好隔离开来，就构成一个简单的一阶有源RC低通滤波电路，如图1动画所示，由于电压跟随器的输入阻抗很高，输出阻抗很低，因此，其带负载能力很强。
如果希望电路不仅有滤波功能，而且能起放大作用，则只要将电路中的电压跟随器改为同相比例放大电路即可。下面介绍它的性能。
1．传递函数
RC低通电路的传递函数为
对于电压跟随器，其通带电压增益AO等于同相比例放大电路的电压增益AVF，即
因此，可导出电路的传递函数为
（1）
式中wn=1/(RC)，wn称为特征角频率。
由于传递函数中分母为s的一次幂，故上述滤波电路称为一阶低通有源滤波电路。
2．幅频响应
对于实际的频率来说，式(1)中的s可用s=jw代入，由此可得
( 2 )
（3）
图 2 幅频响应
这里的wn就是–3dB截止角频率。由式(3)可画出图1电路的幅频响应，如图2所示。
从图2所示幅频响应来看，一阶滤波器的效果还不够好，它的衰减率只是20dB/十倍频。若要求响应曲线以–40或–60dB/十倍频的斜率变化，则需采用二阶、三阶或更高阶次的滤波器而高于二阶的滤波器可由一阶和二阶有源滤波器构成。因此下面重点研究二阶有源滤波器的组成和特性。
1.传递函数
可以推导出二阶压控电压源低通滤波器的传递函数为
由图1电路可知，运放同相端输入电压为
(1)
而VP(s)与VA(s)的关系为
(2)
对于节点A，由节点电流法可得
(3)
将式(1)、式(2)和式(3)联立求解，可得电路的传递函数为
(4)
令 
(5)
(6)
则有
(7)
上式为二阶低通滤波器传递函数的典型表达式。其中wn为特征角频率，而Q则称为等效品质因数。上式表明，AO=AVF<3，才能稳定工作。当AO=AVF≥3，A(s)将有极点处于右半s平面或虚轴上，电路将自激振荡。
2.幅频响应
用s=jw代入上式可得幅频响应和相频响应表达式为
相频响应表达式表明，当w=0时， 
；当w®¥时， 
。显然，这是低通滤波电路的特性。由幅频响应表达式可画出不同Q值下的幅频响应，如图2所示。
由图可见，当Q=0.707时，幅频响应较平坦，而当Q>0.707时，将出现峰值，当Q=0.707和 
=1情况下，
；当
=10时，
。这表明二阶比一阶低通滤波电路的滤波效果好得多。
五、二阶压控电压源高通滤波电路
如果将低通滤波电路中R和C的位置互换，则可得到二阶压控电压源高通滤波电路如图1所示。
1. 传递函数
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图 1 |
由于二阶高通滤波电路和低通滤波电路的幅频特性具有对偶关系，它们的传递函数也如此。将二阶低通滤波电路的传递函数表达式中的sRC用 
代替，则可得二阶高通滤波电路的传递函数为
（1）
令
（2）
则 
（3）
式（3）为上阶高通滤波电路传递函数的典型表达式。
2. 幅频响应
将式（3）中的s用s=jw代替，则可得二阶高通滤波电路的频率响应特性方程为
（4）
即有 （5）
由此可画出其幅频响应的曲线，如图2所示。
由图可见，二阶高通滤波电路和低通滤波电路的幅频特性具有对偶（镜像）关系。如以w=wn为对称轴，二阶高通滤波电路的 随w升高而增大，而二阶低通滤波电路的则随着w升高而减小。二阶高通滤波电路在w<<wn时，其幅频响应以40dB/十倍频的斜率上升。
由式（1）知，只有A0=AVF<3时，电路才能稳定地工作。
六、二阶压控电压源带通滤波电路
带通滤波电路的幅频响应与高通、低通滤波电路的幅频响应进行比较，可以看出低通与高通滤波电路相串联可以构成带通滤波电路，条件是低通滤波电路的截止角频率wH大于高通滤波电路的截止角频率wL，两者覆盖的通带就提供了一个通带响应。
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图 1 |
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图 2 |
1. 传递函数
图2为二阶压控电压源带通滤波电路。为了计算简便，设R3=2R，R2=R，由电路图可得到下面方程组
由上述方程组可导出带通滤波电路的传递函数为
（1）
令 
（2）
则有 （3）
式中，A0称为带通滤波电路的通带电压增益，wo称为中心角频率。令s=jw代入(3）式则有
（4）
2.幅频响应
，取正根，可求出带通滤波电路的两个截止角频率，从而求出带通滤波电路的通带宽度BW= 。 （4）
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图 1 双T选频网络 |
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(a) 幅频响应 (b) 相频响应 |
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图 2 |
， 。增加AVF，Q将随之升高。当AVF趋近2时，Q趋向无穷大。因此，AVF愈接近2， 愈大，可使带阻滤波电路的选频特性愈好。即阻断的频率范围愈窄。
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图 3 双 T带阻滤波电路 |
n=1, 2, 3 … （1）
（2）
（3）
式中B(S)为巴特沃思多项式，由式(3)可得出B(S)，如表1所示。
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B(S) | |
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