摘要：针对微处理器对Buck变换器快速动态响应速度的特殊要求，提出了Buck变换器电路理想的过渡过程波形。通过对理想波形的定量分析，得到了其实现方法：电容电流平方滞环（CCSH）控制方法。Matlab仿真结果验证了其优越的控制性能。

关键词：电容电流平方；滞环控制；快速动态响应

0    引言

    现代高速微处理器对其供电电源提出了特殊的要求：低电压大电流、极高的输出电流变化率和极小的电压变动范围。因此，如何提高低电压大电流变换器的动态响应速度已成为电源设计的一个研究热点。由于线性调节器（如PI、PID调节器）是基于目标误差控制而不是基于模型控制，它仅在输出发生变化时才对系统进行调节，因此动态响应速度较慢。与线性调节器相比，DC/DC变换器的非线性控制方法（如V²控制方法[1]和电压滞环控制方法[2][3][4][5]）能有效地提高变换器的响应速度。本文根据现代微处理器对DC/DC开关变换器响应速度的特殊要求，提出了Buck变换器在负载阶跃变化时的一种理想的调节过程波形，即一种新的控制策略。通过对理想波形的分析，得到了实现这一控制策略的方法：根据输出电压偏差调节的电容电流平方滞环（CCSH）控制。

1    Buck变换器理想调节过程波形

    如图1所示Buck变换器电路拓扑结构及其元件参数决定了整个系统各项性能指标所能达到的极限。电感值L决定了系统对负载电流变化率的跟踪能力，L、C共同决定了系统处于稳态时的输出电压纹波及负载快速变化时电压的波动范围。系统性能能否达到或接近这个极限，则完全由控制电路、控制方法决定。

图1    Buck变换器电路

    为了实现变换器的快速动态响应速度，其调节过程应如图2波形所描述。图2（a）是电感电流i_L与负载电流i_o的波形，图2（b）是电容电流i_c的波形，图2（c）是输出电压v_o的波形。在稳态时i_L=i_o，所以i_c=i_L－i_o=0。下面描述负载电流发生阶跃变化时的调节过程。

图2    理想过渡过程波形

    1）[t₁，t₂]时间段

    在t₁时刻，i_o产生幅度为I_bh的正跳变，相应地，由于i_L不能跳变，电容电流i_c将产生幅度为I_bh的负跳变。t₁时刻之后，电容电流i_c为负值，电容开始放电，输出电压v_o开始减小，而电压偏差v_e=V_OR－v_o=－i_cdt开始增大。式中，V_OR为输出电压的给定值。

    t₁时刻之后，为使电感电流迅速增大以跟踪负载电流，应将开关管S开通。在达到时刻t₂时电感电流跟踪上负载电流，从而有i_L=i_o，i_c=0，而电压偏差v_e也达到其峰值，记为V_t2。

    2）[t₂，t₃]时间段

    时刻t₂之后，为使输出电压恢复到其给定值V_OR，应使电感电流继续增大，使电容电流为正而充电，所以开关S仍需开通。

    3）[t₃，t₄]时间段

    选择某一时刻t₃使开关S关断，使电感电流和电容电流减小，利用电感的放电过程继续给电容充电，从而输出电压继续回升。

    对时刻t₃的要求是：选择t₃，使得在t₄时刻，电感电流再次等于负载电流，即电容电流减小到零时，输出电压v_o恰好恢复到其给定值V_OR，即v_e恰好也为零。v_e在时刻_t3时的值记为V_t3，电容电流在t₃时刻的值记为I_t3。可见[t₁，t₂]时间段是电感电流跟踪负载电流的过程，也是电压偏差最大值V_t2的形成阶段。[t₂，t₄]时间段是电压偏差的消除过程。其中，开关切换时刻t₃的选择是关键。

    4）[t₅，t₈]时间段

    与[t₁，t₄]时间段相似，当在t₅时刻负载发生负跳变时，开关S在[t₅，t₇]时间段关断，在[t₇，t₈]时间段开通。[t₅，t₆]时间段是电感电流跟踪负载电流的阶段，也是电压偏差最大值V_t6的形成阶段；[t₆，t₈]时间段是电压偏差的消除阶段。其中，开关切换时刻t₇的选择是关键。v_e在t₆、t₇时的值分别记为V_t6、V_t7；电容电流在t₇时刻的值记为I_t7。

    由于在上述负载变化引起的过渡过程中，电感电流始终是以其最快的速度变化，从而保证了过渡过程的快速性。

2    Buck变换器理想调节过程波形的定量分析    

    要实现上述的控制策略，关键要使控制器能确定出时刻t₃（和/或t7）以实现开关管开关状态的自动切换。下面我们通过对图2的理想调节过程波形的定量分析，得到确定t₃、t₇时刻的方法。

    我们假设电压偏差v_e始终远远小于变换器的输出电压给定V_OR，则电感电流i_L在开关S开通期间的变化率为：

    K₁=（V_i－V_o）/L≈（V_i－V_OR）/L（1）

    在开关S关断期间的变化率为：

    K₂=－v_o/L≈－V_OR/L（2）

    那么电感电流与电容电流的变化曲线可以认为是分段线性的。电压偏差v_e与电容电流i_c之间是积分关系。利用这些条件可以计算出V_t2、V_t3、I_t3、V_t6、V_t7、I_t7、t₁₄=t₄－t₁、t₅₈=t₈－t₅等特征数值。

2.1    负载电流发生正跳变的调节过程

    电容电流由－I_bh上升到0所用时间为：

    t₁₂=（3）

    时间段t₂₃=t₃－t₂与时间t₃₄=t₄－t₃的比值为：

所以

    t₃₄=t₂₃（4）

    t₂₄=t₂₃＋t₃₄=t₂₃

   对于电压偏差

    v_e=V_OR－v_o=－i_cdt=0

    根据电容电流的安秒平衡，得

    t₁₂I_bh=t₂₄I_t3=t₂₄K₁t₂₃

   解之可得

    t₂₃=（5）

    代入式（4）得

    t₃₄=（6）

式中：M为变换器电压变比，M=V_OR/V_i。

    t₃时刻的电容电流为

    I_t3=K₁t₂₃=I_bh（7）

    最大电压偏差为

    V_t2=I_bht₁₂=（8）

    开关在t₃关断时的电压偏差为

    V_t3=I_t3t₃₄=（9）

    总的调节时间为

    t₁₄=t₁₂＋t₂₃＋t₃₄=I_bh（10）

    由式（7）及式（9）消去Ibh可得：

    I_t3==V_OR

V_Ot3为t₃时刻的输出电压值，若将V_Ot3换为变量v_o，将I_t3换为变量i_cr1，则上式变为

    i_cr1=V_OR=V_OR=I₁（11）

式中：x为归一化的电压偏差，x=1－v_o/V_OR。

    I₁=V_OR（12）

    式（11）是一条与电容电流曲线i_c有焦点（t₃，I_t3）的曲线i_cr1，其波形如图4所示，曲线i_cr1的波形就是图4中负载电流增大调节过程中电容电流i_cr1的波形。进一步研究可知在[t₁，t₃]时间段i_cr1>i_c，在[t₃，t₄]时间段i_cr1=i_c，而i_c在[t₁，t₃]时间段有增大的要求，在[t₃，t₄]时间段有减小的要求，因此若采取滞环控制，以电容电流作为被控量，以曲线i_cr1或变量i_cr1作为电容电流的给定，则控制器会自动在t₃时刻进行开关状态切换。

    式（11）还可以进一步变换为：

    i_cr1²=I₁²x（13）

    我们重新定义电容电流的平方为：

    i_c²=i_ci_csi_gn(i_c)=i_c|i_c|（14）

    若采取滞环控制，以电容电流的平方作为被控量，则曲线i_cr1²或变量i_r1²可作为电容电流平方i_c²的给定。

2.2    负载电流发生负跳变的调节过程

    同理可以得到负载电流发生负跳变时，调节过程中的各特征数值：

    t₅₆=（15）

    t₆₇=（16）

    t₇₈=（17）

    t₇时刻的电容电流为

    I_t7=－I_bh（18）

    最大电压偏差为

    V_t6=（19）

    开关在t₇开通时的电压偏差为

    V_t7=－（20）

    总的调节时间为

    t₅₈=I_bh（21）

    由式（18）及式（20）消去Ibh可得：

    I_t7=－

    V_Ot7为t₇时刻的输出电压值，若将V_Ot7换为变量v_o，将I_t7换为变量i_cr2，则上式变为

    i_cr2=－=－=－I₂（22）

    I₂=（23）

式（22）描述的是一条与电容电流曲线i_c有焦点（t₇，I_t7）的曲线i_cr2，其波形可参阅图4，曲线i_cr2的波形就是图4中负载电流减少调节过程中电容电流给i_cr2的波形。进一步研究可知在[t₅，t₇]时间段i_cr2<i_c；在[t₇，t₈]时间段i_cr2=i_c；而i_c在[t₅，t₇]时间段有减小的趋势；在[t₇，t₈]时间段有增大的趋势。因此若采取滞环控制，以电容电流作为被控量，以曲线i_cr2或变量i_cr2作为电容电流的给定，则控制器会自动在t₇时刻进行开关状态切换。

    式（22）还可以变换为：

    i_cr2²=I₂²x（24）

若采取滞环控制，以电容电流的平方作为被控量，则曲线i_cr2²或变量i_cr2²可作为电容电流平方的给定。

3    电容电流平方滞环（CCSH）控制方法

    根据前面的定量分析结果，我们得到了两种滞环控制策略：电容电流滞环控制和电容电流平方滞环控制。

    以电容电流作为控制变量时，其给定可描述为：

    i_cr=（25）

    由于式（25）描述的电容电流给定存在开方运算，模拟器件实现较复杂，在此不予研究。

    以电容电流平方作为控制变量时，其给定可描述为：

    i_cr²=（26）

    式（26）描述的电容电流平方给定的计算方法只需要比例运算，比较简单。而由式（14）定义的电容电流平方需要的是乘法运算，比开方运算简单，我们将重点研究其实现方法和控制性能。本小节给出其实现方法，即电路原理图；随后将对其控制性能进行探讨。

    图3是电容电流平方滞环控制器的工作原理图，ADD₁～ADD₃是加法器，A₁～A₃是比例放大器，MULT₁～MULT₂是乘法器，COMP₁是过零比较器，COMP₂是滞环比较器。其中A₁的放大倍数是I₁²，输出下限幅值为零，实现对输入信号正值的放大；A₂的放大倍数是I₂2，输出上限幅值为零，实现对输入信号负值的放大；COMP₁的上下限幅值分别是1和－1，COMP₂的滞环半宽是ΔI_cr²，应根据控制精度合理设置。

图3    电容电流平方滞环控制器的原理图

    各器件的功能是：ADD₁、A₃根据输出电压给定VOR和输出电压反馈信号vo计算偏差信号x；A₁、A₂、ADD₂根据x计算电容电流平方的给定值；COMP₁、MULT₁、MULT₂由电容电流i_c计算式（14）所定义的电容电流平方值；ADD₃完成对电容电流平方的给定值与电容电流平方值的比较，得到电容电流平方的偏差信号i_ce²；COMP₂根据偏差信号i_ce²得到PWM脉冲信号，去控制开关管的开通与关断。

4    仿真研究

    我们利用Matlab对电容电流平方滞环控制Buck变换器进行了仿真。仿真电路参数为：V_i=10V，V_OR=2.5V，L=0.5mH，C=5000μF，R在1.25Ω与2.5/3Ω之间跳变以产生1A的负载电流扰动，滞环比较器COMP₂的滞环半宽选择为ΔI_cr²=0.0001A²。由式（12）和式（23）计算得到控制器参数I₁₂=125A²，I22=375A²，其仿真波形如图4所示。

图4    电容电流平方滞环控制Buck变换器仿真波形

    在负载电流正跳变时，据式（8）计算得到的电压降为0.0067V，根据式（10）计算得到的调节时间为0.2ms；而仿真得到的电压降为0.00645V，调节时间为0.1977ms；在负载电流负跳变时，根据式（19）计算得到的电压升为0.02V，根据式（21）计算得到的调节时间为0.4309ms；而仿真得到的电压升为0.0194V，调节时间为0.4228ms。（由于以上计算公式忽略了电压偏差对电感电流变化率的影响，实际上负载扰动所引起的电压偏差会使电感电流变化率变大一些，所以仿真结果比计算结果更好一些）可见电容电流平方滞环控制能够很好地实现理想动态波形所包含的控制策略。

    为了验证电容电流平方滞环控制的优越性，我们对Buck变换器分别采用电压滞环控制和电容电流平方滞环控制的输出电压波形进行了比较，如图5所示，其中Rc为电容的等效串联电阻，其余电路参数同上，电压滞环半宽为0.001V。

图5    两种滞环控制方法的输出电压仿真比较

    电容电流平方滞环控制方法是在认为R_c=0的理想情况下得到的，R_c的加入使得开关切换时刻t₃或t₇提前了，这会使调节时间比理想情况时有所延长，但与电压滞环控制相比，在R_c较大时，两种方法的控制性能基本相同。随着R_c的减小（这也是减小Buck变换器输出电压纹波、负载扰动产生的输出电压偏差及提高变换器效率的要求），电流平方滞环控制方法的输出电压仿真波形越接近理想波形；而电压滞环控制方法的输出电压仿真波形在调节后期会出现震荡，调节时间变长，R_c越小，震荡越剧烈，以至输出电压不稳定。相比之下，在R_c较小时电容电流平方滞环控制方法的动态响应速度更快，稳定性更好。

    为了进一步研究电容电流平方滞环控制方法的稳定性，经过仿真，我们得到了如图6所示的电容电流与归一化电压偏差的相图。

 

图6    i_c－x相图

    横轴为归一化电压偏差x，纵轴为电容电流i_c，i_cr1为式（11）所定义的x≥0时的电容电流给定，i_cr2为式（22）所定义的x<0时的电容电流给定，i_sat是电感电流i_L=0时电容电流与归一化电压偏差的关系曲线，i_sat曲线以下区域是Buck变换器所不能达到的状态区域。

    从曲线i_cr1、i_cr2、i_sat连接而形成的曲线的右侧区域起始的状态，首先会沿相应相线过渡到曲线i_cr1（S开通），然后沿曲线i_cr1过渡到零点（S关断），起始于此区域中i_c轴右侧的状态过渡过程中，x的极性始终为正，起始于此区域中i_c轴左侧的状态过渡过程中，x的极性将由负变正改变一次；从曲线i_cr1、i_r2、i_sat连接而形成的曲线的左侧区域起始的状态，首先会沿相应相线（中间可能沿i_sat曲线）过渡到曲线i_cr2（S关断），然后沿曲线i_cr2过渡到零点（S开通），起始于此区域中ic轴左侧的状态过渡过程中，x的极性始终为负，起始于此区域中i_c轴右侧的状态过渡过程中，x的极性将由正变负改变一次。

    可见，采用电容电流平方滞环控制的Buck变换器系统从任意可能状态起始，均能平稳地过渡到零点，且在过渡过程中，归一化电压偏差至多改变一次极性（无其它扰动影响时），不会无休止的震荡下去。

5    结语

    电容电流平方滞环控制方法具有较好的动态响应速度和稳定性。

    电容电流平方滞环控制方法直接控制电容电流，而不是电感电流，因此不具有短路保护能力。这可以通过另外设置限流电路加以解决。

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