数制转换

　　计算机中常用几种不同的进位数制，包括二（八、十六）进制和十进制。二进制数据更容易用逻辑线路处理，更接近计算机硬件能直接识别和处理的电子化信息的使用要求，而使用计算机的人更容易接受十进制的数据类型。二者之间的进制转换是经常遇到的问题，应熟练掌握。

　　（1）二 (八、十六) 进制 十进制数据转换
　　公式 (2.3) 确定的运算规则，是不同进位计数制数据之间完成进位制转换的依据。
　　十进制到二进制的转换,通常要区分数的整数部分和小数部分,并分别按除2取余数部分和乘2取整数部分两种不同的方法来完成。

　　对整数部分,要用除2取余数办法完成十→二的进制转换,其规则是:
　　 用2除十进制数的整数部分，取其余数为转换后的二进制数整数部分的低位数字;
　　 再用2去除所得的商,取其余数为转换后的二进制数高一位的数字;
　　 重复执行第二步的操作，直到商为0，结束转换过程。

　　例如, 将10进制的37转换成二进制整数的过程如下:
　　
　　余数部分，即转换后的结果，为(100101) ₂。

　　对小数部分，要用乘2取整数办法完成十→二的进制转换,其规则是:
　　 用2乘十进制数的小数部分,取乘积的整数为转换后的二进制数的最高位数字;
　　 再用2乘上一步乘积的小数部分,取新乘积的整数为转换后二进制小数低一位数字;
　　 重复第二步操作,直至乘积部分为0，或已得到的小数位数满足要求,结束转换过程。

　　例如，将十进制的0.43，转换成二进制小数的过程如下(假设要求小数点后取5位):
　　
　　整数部分，即转换后的二进制小数为(0.01101)₂。
　　对小数进行转换的过程中,转换后的二进制已达到要求位数,而最后一次的乘积的小数部分不为0，会使转换结果存在误差，其误差值小于求得的最低一位的位权。

　　对既有整数部分又有小数部分的十进制数, 可以先转换其整数部分为二进制数的整数部分,再转换其小数部分为二进制的小数部分,通过把得到的两部分结果合并起来得到转换后的最终结果。例如，（37.43）₁₀ = （100101.01101）₂ 。

　　在实现手工转换时,如果对二进制数已经比较熟悉,基本上记住了以2为底的指数值,即二进制数每一位上的权,对十进制数进行转换时,也可以不采用上述规则,基本上可以直接写出来。例如，
　　（45.625）₁₀＝32＋8＋4＋1＋0.5＋0.125＝(10 1 1 01. 10 1) ₂，即（101101.101）₂。
　　　　(1105)₁₀ = 1024+81 = 1024+ 64+16 + 1= (1000 10 10001) ₂，即（10001010001）₂。

　　参照上述方法,也可以实现十→八进制, 十→十六进制的转换过程。例如,
　　
　　结果：（1109）₁₀ =（2125）₈

　　　　

　　结果：（0.385）₁₀ =（0.305）₈

　　完成 十→十六 进制数的转换方法与前述方法类似，只是乘除16时，手工运算不大方便。

　　（2） 二 八 及 二 十六的进制转换
　　用二进制表示一个数值N，所用的位数K为log₂N，如表示4096, K为13，写起来位串较长。为此，计算机中也常常采用八进制和十六进制来表示数值数据，为表示数值N，分别有如下对应关系:
　　　　　　　m-1
　　N = ∑ D_i * 8ⁱ (2.5) D_i 的取值为0到7
　　　　　　i = -k
　　例如 (7.44)₈ = 7*8⁰ + 4*8^-1 + 4*8^-2 = (7.5625)₁₀ 。

　　　　　　　m-1
　　N = ∑ D_i * 16ⁱ (2.6) D_i 的取值为0到9和A到F
　　　　　　i = -k
例如 (1A.08) ₁₆ = 1*16¹ + 10*16⁰ + 8*16^-2 = (26.03125)₁₀ 。

　　上述二式中所用符号的意义与公式（2.3）中所用符号的意义类同，但此处D_i包含的基本符号分别限于0-7和0-9、A-F，各位的码权分别为8ⁱ和16ⁱ
　　把用二进制、八进制、十六进制表示的数转换成10进制数的值, 使人能更容易地衡量这个数值的大小。

　　二进制数与八进制、十六进制数的关系
　　由于log₂8=3, log₂16=4, 即一位8进制的数可以用3位二进制的数重编码来得到, 一位16进制的数可以用4位二进制的数重编码得到, 故人们通常认为, 在计算机这个领域内, 8进制和16进制数, 只是二进制数的一种特定的表示形式。表2.1给出少量二、八、十六和十进制数的对应关系：

表2.1 二、八、十六和十进制的对应关系

　　在把二进制数转换成八进制或十六进制表示时，应从小数点所在位置分别向左、向右对每三位或每四位二进制位进行分组，写出每一组所对应的一位八或十六进制数。若小数点左侧(即整数部分)的位数不是3或4的整数倍，可以按在数的最左侧补零的方法理解；对小数点右侧(即小数部分)，应按在数的最右侧补零的方法处理，否则容易转换错。对不存在小数部分的二进制数(整数),应从最低位开始向左把每3位划分成一组，使其对应一个八进制位，或把每4位划分成一组，使其对应一个十六进制位，例如:

　　(10.101) ₂ 变成八进制时，应把它理解为(010.101)₂,是(2.5)₈ , 即八进制的2.5。当把它转换为十六进制时，应首先变为(0010.1010)₂，是(2.A) ₁₆,即十六进制的2.A，而不是(2.5)₁₆。又如，
　　(1100111.10101101) ₂ = (147.532) ₈
　　(1100111.10101101) ₂ = (67.AD)₁₆
　　
　　八和十六进制之间的转换不怎么常用，经过二进制的中间结果进行转换是方便的。